18.10  VÝPOČET PŘESTUPU TEPLA Z DERIVACÍ TEPLOT

Při obtékání povrchů těles tekutinou o teplotě T_oo lišící se od lokální teploty povrchu T_wx v místě x, dochází v tomto místě k lokálnímu přestupu tepla mezi povrchem a tekutinou. Pro lokální hustotu tepelného toku q_x platí Newtonův zákon viz kap. 11.4, který má tvar

Lokálního součinitele přestupu tepla a_x je poměrně složité stanovit. Jeho hodnota závisí ne jen na druhu tekutiny, ale také na rychlosti proudění, na tvaru obtékaného povrchu, na poloze vyšetřovaného místa, na rozdílu teplot mezi povrchem a tekutinou apod. Při odvozování vztahu pro výpočet lokálního součinitele přestupu tepla a_x je však možné vycházet z následujících úvah.

Jestliže se molekuly na povrchu nepohybují ve směru kolmém k povrchu (neplatí to pro porézní povrchy, kterými proniká tekutina nebo pro povrchy s fázovou přeměnou), můžeme uplatnit diferenciální rovnici přestupu tepla (viz lit. [5-5], [5-6], [5-7] a další)

Tato rovnice říká, že lokální hustota tepelného toku konvekcí v místě x (viz levá strana rovnice) je rovna lokální hustotě tepelného toku vedením v tekutině molekulovou vrstvou u povrchu v místě x (viz pravá strana rovnice), kde rychlost pohybu molekul ve směru kolmém k povrchu je nulová. Z tohoto důvodu existuje v molekulové vrstvě u povrchu ve směru kolmém k povrchu přenos tepla vedením. V rovnici (18-76) představuje l_T součinitel tepelné vodivosti tekutiny u povrchu (určený při teplotě povrchu) a (dT/dy)_wx je derivace teploty dle souřadnice y kolmé k povrchu, a to v tekutině u povrchu v místě x. Typický tvar teplotního profilu v tepelné mezní vrstvě o lokální tloušťce d_x při laminárním obtékání povrchu o lokální teplotě T_wx vyšší, než je teplota tekutiny T_oo, je uveden na obr. 18-9. Tloušťka mezní vrstvy d_x je vždy o mnoho řádů větší, než tloušťka vrstvy molekul s nulovou rychlostí u povrchu.

Obr. 18-9 Teplotní profil v tepelné mezní vrstvě při laminárním obtékání povrchu s teplotou vyšší, než je teplota okolní tekutiny

Je zřejmé, že z diferenciální rovnice přestupu tepla (18-76) lze snadno vyjádřit lokální hodnotu součinitele přestupu tepla

Rovnice (18-77) umožňuje výpočet lokální hodnoty součinitele přestupu tepla, potřebné pro výpočet lokální hustoty tepelného toku (18-75), či dalších parametrů přestupu tepla (tepelný tok, Nusseltovo číslo), a to ze známého rozložení teplot v blízkosti povrchu a ze známé hodnoty součinitele tepelné vodivosti tekutiny u povrchu. Hodnotu součinitele tepelné vodivosti tekutiny u povrchu lze určit z tabulek (viz též přílohy P6 a P7) a rozložení teplot v blízkosti povrchu lze získat z měření či pomocí různých metod matematického řešení rozložení teplot v tekutině v blízkosti povrchu při konvekci.

Z naměřeného či vypočteného tvaru teplotního profilu lze snadno vyjádřit rozdíl teplot (T_wx - T_oo) a derivaci teploty u povrchu, které vystupují v rovnici (18-77) . Derivaci teploty u povrchu je možné stanovit z funkce popisující teplotní profil, či z vykresleného teplotního profilu (obr. 18-9), a to pomocí úhlu b_x, který svírá tečna k teplotnímu profilu v místě povrchu (kde probíhá přenos tepla vedením) s osou y. Pro derivaci teploty u povrchu ve směru kolmém k povrchu platí

Po dosazení této derivace do rovnice (18-77) dostaneme vztah pro výpočet lokální hodnoty součinitele přestupu tepla

Střední hodnotu součinitele přestupu tepla na úseku od souřadnice x₁ do x₂ (či na celém povrchu) lze získat integrací lokálních hodnot součinitele přestupu tepla dle vztahu

Výše uvedený způsob výpočtu součinitele přestupu tepla z derivací teplot se s výhodou aplikuje při interferometrickém výzkumu přestupu tepla, kdy lze z interferogramů stanovit detailní rozložení teplot v tekutině, viz kap. 18.2, kap. 18.3 a kap. 18.9. Pak můžeme snadno určit lokální derivaci teploty (dT/dy)_wx, např. dle vztahu (18-78), a z ní hodnotu lokálního součinitele přestupu tepla a_x dle vztahu (18-79). Lokální hustotu tepelného toku při přestupu tepla lze stanovit ze vztahu (18-75).

Určování lokálních parametrů přestupu tepla z rozložení teplot vyhodnocených z interferogramů patří mezi nejpřesnější, a proto se v praxi používá velmi často, viz např. přílohy P12 a P15.

Pozn.:  Součinitel přestupu tepla se uvažuje kladný i v případě povrchu, který má nižší teplotu, než je teplota tekutiny.